Esperimenti di taratura

Progetto del corso Analisi Dati e Statistica, A.A. 2023–24

Paolo Bosetti

Università di Trento, Dipartimento di Ingegneria Industriale

2023-11-07

Primo caso

Taratura di una bilancia a due piatti, condotta in simulazione.

L’esperimento è individuale.

Schema

Consideriamo una bilancia a due piatti come in figura

Il piatto sinistro è caricato con un peso noto \(F_1\) simile alla massa da pesare \(F_2\)

L’angolo dell’ago all’equilibrio \(\delta\) è funzione della differenza tra i pesi

Siano:

\(l\) la lunghezza dei bracci
\(h\) la distanza verticale all’equilibrio tra il centro di massa del bilanciere e il fulcro
\(F_M\) il peso del bilancere

Formule

Bracci delle forze: \[ \begin{align} b_1 =& \left(\frac{l}{2}+h\tan\delta\right) \\ b_2 =& l\cos\delta-b_1 = \left(\frac{l}{2}-h\tan\delta\right)\cos\delta \\ b_M =& h\tan\delta\cos\delta \end{align} \]

Equilibrio dei momenti: \[ \begin{align} 0 =& F_1b_1 +F_Mb_M - F_2b_2 \\ 0 =& F_1(b_1-b_2) +F_Mb_M -\Delta Fb_2 \\ 0 =& F_1(2h\tan\delta)+F_Mh\tan\delta + \\ & -\Delta F(l/2-h\tan\delta) \end{align} \]

Quindi: \[ \tan\delta = \frac{l}{2h}\frac{\Delta F}{2F_1+F_M+\Delta F} = a\frac{\Delta F}{2F_1+F_M+\Delta F} \]

Taratura statica

Raccogliamo l’angolo di equilibrio per carichi sul piatto sinistro pari a \(F_1=100, 150, \dots, 500\) g e sul piatto destro un valore uguale al piatto sinistro più \(\Delta F=5, 10, \dots, 50\) g

In totale effettuiamo 90 prove

Simuliamo la raccolta dati sia in ordine regolare che in ordine casuale

Dati raccolti in ordine regolare

Grafico \(\delta\) vs. \(F_1\)

Grafico \(\delta\) vs. \(\Delta F\)

Dati raccolti in ordine casuale

Grafico \(\delta\) vs. \(F_1\)

Grafico \(\delta\) vs. \(\Delta F\)

Regressione

Il modello \(\delta = \arctan\left(a\frac{\Delta F}{2F_1+F_M+\Delta F}\right)\) è evidentemente non lineare nei coefficienti \(a\) e \(F_M\). L’arcotangente, inoltre, può creare problemi di convergenza

Si ricorre a una regressione ai minimi quadrati lasciando al primo membro la tangente dell’angolo

Dati ordinati, regressione

Risulta: \(a = 0.9551407\) e \(F_M=28.4649367\), \(R^2=1-\frac{SS_\mathrm{res}}{SS_\mathrm{tot}}=1-\frac{\sum (y_i - \widehat y_i)}{\sum (y_i - \bar y)^2} = 0.9865372\)

Dati casualizzati, regressione

Risulta: \(a = 0.9857569\) e \(F_M=40.7223573\), \(R^2=1-\frac{SS_\mathrm{res}}{SS_\mathrm{tot}}=1-\frac{\sum (y_i - \widehat y_i)}{\sum (y_i - \bar y)^2} = 0.9824978\)

Osservazioni

Sebbene il valore di \(R^2\) sia leggermente migliore per i dati non casualizzati, è evidente che la regressione è più vicina al modello nominale per il caso con i dati casualizzati
Questo insegna a considerare \(R^2\) solo come termine di confronto tra regressioni diverse ma sugli stessi dati
Se la regressione è fatta sul modello \(\tan(\delta)=f(F, \Delta F)\) anziché sul modello \(\delta = \arctan(f(F, \Delta f))\) bisogna fare attenzione che i residui \(y_i - \widehat y_i\) e i valori regressi \(\widehat y_i\) sono calcolati come tangenti dell’angolo e non come angolo vero e proprio

Progetto

Il progetto individuale richiede di eseguire un esperimento di taratura statica dello strumento bilancia a due piatti

Lo strumento virtuale è disponibile su https://p4010.shinyapps.io/bilancia/
Lo strumento ha parametri \(h\) e \(l\) ignoti ed è soggetto a disturbi modificanti (funzione del tempo) e interferenti (aleatori)
Pianificare l’esperimento perlustrando il dominio dei due parametri \(F_1\) e \(\Delta F\) con un sufficiente numero di test
Eseguire tutte le prove e alla fine scaricare la tabella dei risultati, che non dovrà essere modificata
Prendere nota della chiave di verifica visualizzata e salvarla su un file. La chiave è unica per ogni sessione sperimentale e per ogni file scaricato
Eseguire la regressione e determinare la relazione \(\delta=f(F_1, \Delta F, a, F_M)\), con \(a\) e \(F_M\) parametri del modello
Realizzare un report .Rmd che descriva tutti i passi e le analisi effettuate e riporti la chiave di verifica
È necessario consegnare il report in formato pdf e il file dati originale. Il report deve citare la chiave di verifica della sessione sperimentale
Il report deve includere (come chunck con echo=TRUE) anche tutti i passaggi in R (inclusa l’analisi dei residui della regressione!), con la possibile eccezione del caricamento delle librerie
Criteri di valutazione:
- completezza dell’analisi
- correttezza del risultato
- qualità dell’impaginazione e cura per l’aspetto del report e dei grafici
Opzionale: eseguire un’analisi di bootstrap non parametrico per determinare l’intervallo di confidenza al 95% sui due parametri del modello

Report

Per il report usare il template report.Rmd sulla repository GitHub del corso (cliccare qui per scaricare direttamente il file)

Il report richiede la libreria memor: per installarla procedere come segue:

install.packages("devtools")
devtools::install_github("hebrewseniorlife/memor")

Seguire gli esempi e le indicazioni contenute nel template per l’inserimento di figure e tabelle e per la creazione di riferimenti

Secondo caso

Taratura di un sensore di pressione per solette da scarpa.

L’esperimento è da condurre in gruppo: due persone al massimo.

Descrizione dello strumento

Lo strumento è una soletta da inserire in una scarpa tra soletta e calzino, e consente di misurare la pressione esercitata dal piede in 16 zone
Ogni zona è un rettangolo di circa 15 mm x 12 mm ed è costituita da una serie di piste conduttive separate da uno strato isolante: la pressione avvicina i conduttori riducendo la resistenza
La soletta è collegata ad un dispositivo di acquisizione che comunica con un PC, su cui un apposito software acquisisce i valori di tensione proporzionali al carico applicato

Caratteristica statica

La caratteristica statica di ogni sensore segue l’equazione:

\[ V(F) = V_0 + \frac{k}{F-F_0} \]

La caratteristica inversa (utilizzata nelle misurazioni) è ovviamente:

\[ F(V) =\frac{k}{V-V_0} + F_0 \]

Vanno quindi identificati i tre parametri \(V_0\), \(F_0\) e \(k\)

Procedura di taratura

La taratura viene eseguita utilizzando come misurandi delle masse note, misurate mediante una bilancia con incertezza pari a 0.1 kgf
Le masse possono essere combinate in modo da aumentare il numero di misurandi possibili
Tenere in equilibrio le masse su un unico sensore è difficile, quindi si caricano le masse su una piastra appoggiata mediante tre piedini a tre sensori
È possibile tarare tre sensori assieme, assumendo poi che abbiano parametri equivalenti:

\[ F(V) = 3F_0 + \frac{k}{V_1 - V_0} + \frac{k}{V_2 - V_0} + \frac{k}{V_3 - V_0} \]

Questi risultati vanno poi validati con masse singole caricate su un unico sensore

Report finale

Il report finale deve essere realizzato analogamente a quanto detto per il primo caso, utilizzando lo stesso template
Criteri di valutazione:
- completezza dell’analisi
- correttezza del risultato
- qualità dell’impaginazione e cura per l’aspetto del report e dei grafici
Ciascun report viene valutato tra -1 (non consegnato) e +3 (ottimo) punti; la media ottenuta coi due report è un bonus aggiunto al voto finale del primo modulo