Paolo Bosetti
11 ottobre 2025
12 ottobre 2025
Gli esercizi sono riportati di seguito, prima elencando le domande, poi (a fine documento), gli svolgimenti. I numeri delle domande della prima sezione corrispondeono ai numeri delle risposte nella seconda.
Si hanno due campioni da 9 e 12 elementi. Il primo ha i valori 12, 11.7, 9.7, 11, 12.5, 12.7, 9.9, 11.4, 9.2; il secondo 12.5, 15.1, 14.4, 12.5, 14.9, 14.4, 13.2, 11.2, 12.6, 14.8, 13.9, 11.9. Assumendo che i campioni abbiano la stessa varianza, effettuare un test di Student a due lati senza utilizzare la funzione t.test().
Consideriamo il secondo campione dell’esercizio precedente. Risulta \(\bar y_2 = 13.45\). Verificare con la funzione t.test() l’ipotesi che il valore atteso della popolazione d’origine sia diverso da \(\mu_2 = 12.7\). Dato che nella fattispecie risulta \(\bar y_2 > \mu_2\), effettuare anche un test a un lato e discutere il risultato in termini di potenza del test.
Qual è il valore minimo di \(\mu_2\) che ci porta a rigettare \(H_0\) con una probabilità d’errore minore del 1%?
Considerare il dataset ggplot2::diamonds che riporta il prezzo di vendita di diamanti in funzione delle loro caratteristiche morfologiche.
Raggruppare la dimensione in carati (carat) in cinque gruppi di caratura. Costruire una tabella che riporti, per ciascun gruppo e per ciascuna categoria di taglio (cut), il minimo, il massimo e i tre quartili del prezzo di vendita, in colonne separate.
c1 <- c(12, 11.7, 9.7, 11, 12.5, 12.7, 9.9, 11.4, 9.2)
c2 <- c(12.5, 15.1, 14.4, 12.5, 14.9, 14.4, 13.2, 11.2, 12.6, 14.8, 13.9, 11.9)
c1.m <- mean(c1)
c2.m <- mean(c2)
n1 <- length(c1)
n2 <- length(c2)
Sp <- sqrt(((n1-1)*var(c1) + (n2-1)*var(c2)) / (n1 + n2 -2))
t0 <- abs(c1.m - c2.m) / (Sp * sqrt(1/n1 + 1/n2))
p.value <- pt(t0, n1 + n2 -2, lower.tail=FALSE) * 2
cat(paste("t0:", t0, "\n"))t0: 4.09946306243968 p-value: 0.00061049441430277Per verifica:
A due lati:
One Sample t-test
data: c2
t = 1.9921, df = 11, p-value = 0.07177
alternative hypothesis: true mean is not equal to 12.7
95 percent confidence interval:
12.62136 14.27864
sample estimates:
mean of x
13.45 A un lato:
One Sample t-test
data: c2
t = 1.9921, df = 11, p-value = 0.03588
alternative hypothesis: true mean is greater than 12.7
99 percent confidence interval:
12.42668 Inf
sample estimates:
mean of x
13.45 Adottando il test a un lato, il p-value risulta inferiore. Se ci fossimo dati una soglia per la probabilità di un falso positivo pari a \(\alpha=0.05\), in particolare, nel primo caso non avremmo potuto rigettare \(H_0\), mentre nel secondo sì.
Osservando l’intervallo di confidenza al 99%, valori di \(mu_2\) inferiori a 12.4266787 consentirebbero di rifiutare l’ipotesi nulla con una probabilità d’errore inferiore all’1%.
Provare a modificare il valore del parametro conf.level e osservare come l’unico risultato nell’output di t.test() è l’ampiezza dell’intervallo di confidenza.
diamonds %>%
mutate(size = cut(carat, breaks = 5), .after=carat) %>%
select(size:clarity, price) %>%
group_by(size,cut) %>%
summarise(
probs = seq(0, 100, length.out=5),
price = quantile(price),
.groups="keep"
) %>%
mutate(probs = paste0(probs, "%")) %>%
pivot_wider(names_from = probs, values_from = price) %>%
knitr::kable()| size | cut | 0% | 25% | 50% | 75% | 100% |
|---|---|---|---|---|---|---|
| (0.195,1.16] | Fair | 337 | 1715.00 | 2684.5 | 3785.25 | 10752 |
| (0.195,1.16] | Good | 327 | 896.50 | 2258.0 | 4009.50 | 17499 |
| (0.195,1.16] | Very Good | 336 | 773.00 | 1975.0 | 3937.00 | 18542 |
| (0.195,1.16] | Premium | 326 | 882.00 | 1826.5 | 4033.00 | 18279 |
| (0.195,1.16] | Ideal | 326 | 827.00 | 1389.0 | 2947.00 | 17590 |
| (1.16,2.12] | Fair | 2336 | 5334.00 | 7388.0 | 10913.00 | 18574 |
| (1.16,2.12] | Good | 3098 | 6686.50 | 8820.0 | 12236.00 | 18707 |
| (1.16,2.12] | Very Good | 2774 | 6945.25 | 9526.0 | 12762.75 | 18818 |
| (1.16,2.12] | Premium | 2360 | 6604.75 | 9384.5 | 12751.50 | 18795 |
| (1.16,2.12] | Ideal | 3168 | 7155.50 | 9761.0 | 12735.50 | 18806 |
| (2.12,3.09] | Fair | 5405 | 7069.00 | 12500.0 | 14975.00 | 18308 |
| (2.12,3.09] | Good | 9068 | 13751.50 | 14613.5 | 16894.25 | 18788 |
| (2.12,3.09] | Very Good | 6512 | 13782.00 | 15753.0 | 17161.00 | 18692 |
| (2.12,3.09] | Premium | 6357 | 13717.00 | 15857.5 | 17262.75 | 18823 |
| (2.12,3.09] | Ideal | 8709 | 14548.75 | 16427.0 | 17513.00 | 18791 |
| (3.09,4.05] | Fair | 9823 | 10745.50 | 11668.0 | 13816.00 | 15964 |
| (3.09,4.05] | Very Good | 15984 | 15984.00 | 15984.0 | 15984.00 | 15984 |
| (3.09,4.05] | Premium | 12300 | 15223.00 | 15223.0 | 16193.00 | 18701 |
| (3.09,4.05] | Ideal | 12545 | 12555.50 | 12566.0 | 12576.50 | 12587 |
| (4.05,5.01] | Fair | 17329 | 17673.50 | 18018.0 | 18274.50 | 18531 |
size:clarity: in dplyr è possibile selezionare più colonne dando un intervallo di nomi di colonne.summarise() può dare un warning suggerendo di usare reframe: durante il corso e durante l’esame NON utilizzate reframe(), perché essendo sperimentale non ne è garantita la disponibilità sui PC usati per l’esame.summarise() ritornano più di un valore, il sommario riporta altrettante righe. In questo caso come sommario utilizziamo quantile(), che ritorna 5 valori, e otteniamo quindi i valori desiderati, sebbene in un’unica colonna. Aggiungiamo la colonna perc per avere le corrispondenti percentuali.pivot_wider().